Etude des méthodes parcimonieuse pour la tomographie

Dans le cadre de la tomographie avec un nombre limité d’angles, le problème inverse résultant est mal conditionné. Les algorithmes « classiques », analytiques et algébriques, produisent de nombreux artefacts. Les méthodes d’optimisation permettent de résoudre ce problème à l’aide d’une régularisation. Dans mes travaux, je suppose les images parcimonieuses ou parcimonieuses dans une représentation donnée. Une image parcimonieuse est une image qui possède peu de composantes non nulles. Pour promouvoir cette parcimonie, je vais régulariser le problème avec une norme \ell^1 et résoudre l’un des deux problèmes équivalents ci dessous.

(1)   \begin{equation*} \underset{x\in \mathbb{R}^n}{\text{min}}\ \|x\|_1 \text{ s.t. } \|\mathbf{A}x-y\|_2\le \delta \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \underset{x\in \mathbb{R}^n}{\text{min}}\ \frac{1}{2}\|\mathbf{A}x-y\|_2 + \lambda \|x\|_1 \end{equation*}

Mon travail consiste à évaluer les limites théoriques de ces problèmes tout en étant le plus proche de la réalité. De récents travaux [3] ont mis en lumière des conditions suffisantes assurant la reconstruction de l’image par minimisation \ell^1 et fournissent une erreur de cette reconstruction [1]. Ces conditions nécessitent l’existence d’un vecteur particulier appelé certificat dual. Selon les applications, il peut être possible de calculer un candidat qui sous condition sera un certificat dual [2,4].

Mes travaux couvrent essentiellement la construction de tels candidats. Je propose, dans mes travaux, une approche gloutonne de calculer un candidat qui est un certificat dual pour presque toutes les images « reconstructibles » et minimisant l’erreur théorique de reconstruction.

[1] Charles Dossal and Remi Tesson. Consistency of l1 recovery from noisy deterministic measurements. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2013.

[2] Jean-Jacques Fuchs. Recovery of exact sparse representations in the presence of bounded noise. Information Theory, IEEE Transactions on, 51(10) :3601–3608, 2005.

[3] Markus Grasmair, Otmar Scherzer, and Markus Haltmeier. Necessary and sufficient conditions for linear convergence of l1-regularization. Commun. Pure and Appl. Math., 64(2) :161–182, 2011.

[4] Samuel Vaiter, Gabriel Peyré, Charles Dossal, and Jalal Fadili. Robust sparse analysis regularization. 2011.